大偏差原理

　本書は大偏差原理の入門的解説を目的とする、和書としては初めての専門書である。

　「大偏差原理」は、確率論の極限の理論の中でも「大数の法則」や「中心極限定理」に匹敵する重要な理論である。確率論において極めて広範に現れる基本的な研究対象であり、その応用も数理物理学・力学系・情報理論など多岐にわたる。このように、確率論の中心的話題であるにもかかわらず、大偏差原理は、確率論の業界外の人にとってはなじみのない話題であるように思われる。このような現状を改善したいという思いを込めて、本書は執筆された。
　本書が主に想定しているのは、測度論的な確率論をある程度知っているが、大偏差原理についてはそれほど詳しくない読者である。大偏差原理には、ほかの確率論の話題には現れない独特な議論が多いので、そのような読者のために、本書では、冗長に見える危険を冒しても、一般的すぎない設定の下で、なるべく丁寧に説明するように心がけた。また、確率論に関する最低限の基礎は前提知識として仮定するものの、大偏差原理を論じる上で必要な議論全てに詳細な証明を与えている。さらに本書では、思い切って非常に有名な具体例のみを紹介することにした。その代わりに各具体例に対して複数の証明を与えることにより、大偏差原理そのものの「感覚」を学ぶことに集中しやすくした。

　本書の内容は以下のように要約される。第１章では大偏差原理の定義から始めて関連する一般的な事項を解説する。大偏差原理の研究における基本的な証明技術を十分に一般的な設定の下で議論する。第２章ではCramérの大偏差原理と呼ばれる最も古典的な具体例の解説を行い、続く第3-8章ではCramérの定理を様々な方向に一般化した具体例の解説を行う。残りの第9-10章ではSchilderおよびFreidlin–Wentzellの大偏差原理と呼ばれる、確率微分方程式に関連した具体例の解説を行う。